In den siebziger Jahren wurde der Ortsteil Lünen-Brambauer immer größer. Neue Schulen mussten gebaut werden, so auch die Grundschule Auf dem Kelm. Nach nicht einmal einem Jahr Bauzeit wurde die Schule 1976 am Rande von Brambauer fertig gestellt. Zwölf Klassenräume, ein Musikraum, ein naturwissenschaftlicher Raum und ein Kunstraum standen den Schülerinnen und Schülern zur Verfügung. Eine Turnhalle wurde morgens für den Schulsport und nachmittags von den Vereinen genutzt. Über einen Verwaltungstrakt mit Lehrerzimmer und Räumen für die Verwaltung freute sich das Kollegium mit seinem damaligen Schulleiter Herrn Vogt. Später leitete Hans-Gerd Scheidle die Schule über etliche Jahre und trug erheblich zur Entwicklung der noch heute bestehenden Grundsätze des Schulprogramms bei, bis er nach schwerer Krankheit vorzeitig aus dem Dienst ausschied.

Die Schule Auf dem Kelm wird seit ihrem Beginn dreizügig geführt. Seit Sommer 2005 bietet die Schule als „Offene Ganztagsschule“ eine Betreuung bis 16 Uhr an. Nach einem erneuten Umbau können seit dem Schuljahr 2009 / 2010 bis zu 100 Kinder an diesem Angebot teilnehmen. In der Zeit von 2014 – 2020 wurde die Schule von Ulrike Becker und Viola Wagner geleitet. Im Mai 2020 begann ein erneuter Umbau zur Erweiterung der OGS. In einem Anbau entstanden 4 neue Klassenräume. Außerdem erfolgten Maßnahmen zur Erweiterung der OGS-Küche, so dass mehr OGS-Plätze geschaffen werden können. Seit Oktober 2020 ist Birgitta Berkholz die neue Schulleiterin der Schule.